一. 基本概念
从集合的角度来说，对集合A取非之后，即为A集合的非集，记作AC
从命题的角度来说，对命题A取非之后，即为命题A的非命题，记作非A
无论从集合还是命题的角度，对于取非没有实质的影响。下面我们统一将集合记为A，A取非记为AC. ，当且仅当它们满足以下两个条件时，AC为A的非集：
1. Mutually Exclusive：A与AC不能有任何重合，即A交AC为空集(A∩Ac=∅)
符合条件：“所有的正整数”和“所有的负整数”，“小红3岁”和“小红4岁”
不符合条件：“所有的正整数”和“所有大于0的数”(大于0的数包括正整数)
“小红大于3岁”和“小红小于4岁”(这两个集合相交以后是小红大于三岁小于4岁)
2. Collectively Exhaustive：A与AC加起来包括所有的情况，即A并AC为全集(A∪AC=全集U)
符合条件：“小红3岁“和”小红不是3岁“，”小红大于3岁“和”小红小于4岁“
不符合条件：“小红3岁“和”小红4岁“(小红可以是1.2.5.6.7岁等，不全面)
“小明很帅“和”小明很丑“(小明可以长得不帅也不丑，长相一般，不全面)
通过以上定义还可以发现：A与AC互为非集，即A的非集为AC, AC的非集(AC)C为A.
判断以下两个命题是否互为非集：
例一： A. 小红3岁;B. 小红4岁
不成立： 虽然满足mutually exclusive, 但是不满足collectively exhaustive
例二：A. 小红大于3岁;B. 小红小于4岁
不成立，虽然满足collectively exhaustive，但是不满足mutually excusive
例三：A. 小明很帅;B. 小明很丑
不成立，虽然满足mutually exclusive, 但是不满足collectively exhaustive
例四：A. 明天会下雨;B. 明天不会下雨
成立，既满足mutually exclusive, 也满足collectively exhaustive
二. 取非的难点
一般来说，取非很简单——没有not的命题加上not, 有not的命题将not去掉。但是在实际操作中很容易出错，具体分为以下3个难点。
1. 随意替换形容词
原句： The task is difficult.
正确取非：The task is not difficult. 或者The task is easy or medium.
错误取非：The task is easy.
★★★很多同学认为difficult的反面就是easy，这里只满足了mutually exclusive但是并不满足collectively exhaustive. Difficult的反面是not difficult, 包括难度一般和简单两种情况。因此取非时最好直接在原有意思上加上not，而不是用其他的形容词替代。
2. 取非成分不对，记住是对核心谓语取非(难点3的情况除外)
原句： Students who do not finish the homework are punished.
正确取非：Students who do not finish the homework are not punished.
错误取非：Students who finish the homework are punished.
★★★逻辑的取非应该是对句子的核心谓语取非，而不是其他的谓语(例如修饰成分中的谓语)。
3. some/at least, all, none取非
原句： Some of them are girls.
正确取非：None of them are girls.
错误取非：Some of them are not girls.
★★★到这里估计已经有同学要崩溃了——不让替换成boy就老老实实用girl，也老老实实对核心谓语动词取非——结果还是错了。由于对数量有了限定，所以对谓语动词直接取非的方法是错的。首先我们分析一下原句，“Some of them are girls他们中有一些是女生“，some代表1，2，3…一直到all，因此反面应该是”None of them are girls 没有一个人是女孩“，即女孩的人数是0。”0”与”1，2，3..all” 不相交且加在一起包括了0到all的所有情况。如果是“Some of them are not girls有一些不是女孩“也就意味着其他的一些是女孩，与原句无法mutually exclusive.
原句： All of them are girls.
正确取非：(At least) Some of them are not girls.
错误取非：All of them are not girls.
★★★原句“All of them are girls 他们都是女孩“，即女孩的人数是all。正确取非”(At least) Some of them are not girls他们中存在一些人不是女孩 “， 女孩的人数是任何小于all的数目，满足mutually exclusive 和collectively exhaustive。错误取非”All of them are not girls(没有一个是女孩)“，女孩的人数是0，不满足collectively exhaustive.
原句： None of them are girls.
正确取非：At least some of them are girls.
错误取非：None of them are not girls= All of them are girls.
★★★原句“None of them are girls 他们都不是女孩“，即女孩的人数是0。正确取非” At least some of them are girls他们中存在一些人是女孩 “， 女孩的人数是任何大于0的数目，满足mutually exclusive 和collectively exhaustive。错误取非”All of them are girls(所有人都是女孩)“，女孩的人数是all，不满足collectively exhaustive.
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