例5. 身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_______。
分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有C（6,2
）×C（4,2）×C（2,2）=90种。童鞋补充解释（Thanks to 伤心的小鹅肝）~~~~两行三纵列，然后因为只要第一行的人比第二行的人矮，那
么每一列，如果第一行的人选定，那么第二行的人也一定选定，所以第一列是C(6,2), 第二列是C（4，2），第三列是C（2，2）。欢迎更多
童鞋补充完善O(∩_∩)O~~
例6．在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多
少种不同的选法?
妹纸说：看到这题以后妹纸就明白Gmac为神马那么喜欢出排列组合的题了。。。思维逻辑啊思维逻辑。。。
分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。
以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。
第一类：这两个人都去当钳工，有C（2,2）×C（5,2）×C（4,4）=10种；
第二类：这两人人都去当车工，有C（5,4）×C（2,2）×C（4,2）=30种；
第三类：这两人都不去当钳工，有C（5,4）×C（4,4）=5种；
第四类：这两个人一个去当钳工、一个去当车工，C（2,1）×C（5,3）×C（4,3）=80种；
第五类：这两个人一个去当钳工、另一个不去当车工，C（2,1）×C（5,3）×C（4,4）=20种；
第六类：这两个人一个去当车工、另一个不去当钳工，C（5,4）×C（2,1）×C（4,3）=40种；
因而共有185种。
例7．强烈推荐看现有印着0，l，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数?
妹纸说：这题花了妹纸巨多心思！！！这题原本的分析有点残缺。而且好难啊！！！！经过妹纸的搜索和上下求证。把脑子都想烂了终于通
了！！！！妹纸把分析仔细的重新梳理了一遍。如果有童鞋发现问题欢迎指出讨论！！！
分析：有同学认为只要把0，l，3，5，7，9的排法数乘以2即为所求，但实际上抽出的三个数中有9的话才可能用6替换，因而必须分类。
(蓝条里面都是妹纸自己的补充，希望各位自己求证)首先，两个重要的因素是“三位数的千位数不能是0”和“抽到9可以用6替换”。
所以：
抽出的三数含0，含9的情况: 0不能为千位数，所以X09，X90，9X0，90X。剩下一位数有四种情况1，3，5，7。即4*4。9能够由6替代，所以
4*4*2=32，有32种方法；
抽出的三数含0不含9的情况：0不能为千位数，所以必须是XX0，X0X。又因为不含9.所以剩下两位数有四种情况1，3，5，7。即4*3（一个位
数用掉一个数字以后，下一个位数就只有3个数可以用啦）。所以一起有4*3*2=24，有24种方法；
抽出的三数含9不含0的情况：木有0所以不用担心千位数是啥。但是必须抽中9哦，所以9XX，X9X，XX9。剩下两位数有四种情况1，3，5，7。
即4*3。所以含9的一起有4*3*3=36种。然而！！！大家不要忘记了！！！6他能替代9啊！！！所以还要乘以2，一起36*2=72，有72种方法；
抽出的三数不含9也不含0的情况：题目做到这里难的部分已经结束了。。。木有0也木有9嘛那就很容易啦。1，3，5，7这四个数字随便组成
个3位数就行了。所以4*3*2=24，有24种方法。
因此共有32+24+72+24=152种方法。
另外一种方法：9可以做6用，相当于有7张牌，所以算得为6*6*5=180。（注意：这里一开始就去掉了0在千位数的情况哦，所以后面就不用
worry啦）但是实际只有6张牌。所以要除去同一次中抽出9和6的，包含9和6的三位数中有6种排列，96X，69X，9X6，6X9，X69，X96。其中包
括开头不是0的四种排列和开头或许是0的两种排列。开头不是0的四种排列中，剩下的一位有5种情况，0、1、3、5、7。即5*4。开头可能为0
的两种数列中，因为开始我们已经排除了0开头的情况，所以我们不用另外worry 0开头的情况啦。所以剩下的一位的只有4种情况，1、3、5
、7。即4*2。总共减去(5*4+4*2)28种，结果为152。
例8．停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法是________种。
分析：把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有A（9,8）=362880种停车方法。
PS把4个空车位绑起来变成一个~~~后面有具体捆绑法的讲解~~~
3．特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑
例9．六人站成一排，求（1）甲、乙既不在排头也不在排尾的排法数；（2）甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数。
妹纸说：第一小题是个小热身~~~请把大脑用在第二小题。
分析：（1）按照先排出首位和末尾再排中间四位分步计数
第一类：排出首位和末尾、因为甲乙不在首位和末尾，那么首位和末尾实在其它四位数选出两位进行排列，一共有A（4,2）=12种；
第二类：由于六个元素中已经有两位排在首位和末尾，因此中间四位是把剩下的四位元素进行顺序排列，共A（4,4）=24种；
根据乘法原理得即不再排头也不在排尾数共12×24=288种。
（2）第一类：甲在排尾，乙在排头，有A（4,4）种方法。
为什么呢：因为甲乙他们已经不能再相邻了啊！！！！所以情况是：乙，X，X，X，X，甲。中间四个随便你怎么排啊。。。但切记这个是排
列！不是组合！（12、21与1和2、2和1的问题）。所以他们只能4*3*2*1啦。
第二类：甲在排尾，乙不在排头，有3×A（4,4）种方法。
如果捏是甲在排尾乙不在排头，那么就是：X，X，X，X，X，甲。但寺！甲乙不能相邻，而且乙呢不在排头，所以乙就只有3个位置可以选啦
~~~然后剩下四个位置被另外四个瓜分。所以就是3*4*3*2*1咯。
第三类：乙在排头，甲不在排尾，有3×A（4,4）种方法。
这个推理和上面一样。乙，X，X，X，X，X。第二位和最后一位不是甲，所以甲有3种选择~~~然后剩下爱站哪站哪~~~~3*4*3*2*1
第四类：甲不在排尾也不再排头，乙不在排头也不再排尾，有6×A（4,4）种方法（排除相邻）。
甲不在排尾也不再排头，乙不在排头也不再排尾。那么他们就只能是：（X，甲，X，乙，X，X）、（X，乙，X，甲，X，X）、（X，X，甲，X
，乙，X）、（X，X，乙，X，甲，X）、（X，甲，X，X，乙，X）、（X，乙，X，X，甲，X）。一起六种情况。剩下四个位子他们爱咋咋滴
~~~所以是6*4*3*2*1
共A（4,4）+3×A（4,4）+3×A（4,4）+6×A（4,4）=312种。
例10．对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这
样的测试方法有多少种可能?
妹纸补充：相似JJ（这题不是解题思路相同）
116. 【确定】一个运货的船，有好几个boxes，每个box有10个碗，要从每个箱子里一次抽三个出来验货，如果次品数atleast是1就不能
shipped，问有个箱子里次品数是3，最后能shipped的概率是多大？
7/24ß嘿嘿
分析：本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。
第一步：第五次测试的有C（4,1）种可能；（意思就是四个次品里面任何一个都有可能是第五次测试到的）
第二步：前四次有一件正品有C（6,1）种可能。（一起有四个次品~要保证第五次测出全部次品切第五次测出次品，那么前四次里面就有一次
会抽到正品。正品有6个，任何一个都有可能抽到~~）
第三步：前四次有A（4,4）种可能。（除了最后一次必须是次品以外，前面四位数是什么顺序是随便的，所以他们有4*3*2*1种方法排）
∴ 共有4*6*4*3*2*1=576种可能。
正题思路就是把第五次确定咯~先组合他们再排列他们~~~~但是注意这里是相乘因为他们要一起做才能完成~~~也就是他们只是任务的一个步
骤~~~
4．捆绑与插空
例11. 8人排成一队：（1）甲乙必须相邻；（2）甲乙不相邻；（3）甲乙必须相邻且与丙不相邻；（4）甲乙必须相邻，丙丁必须相邻；（5
）甲乙不相邻，丙丁不相邻
妹纸飘过：这题看起来类似于例9嗯~~~但是比例9简单而且是用捆绑插空的方法呢~~~
分析：（1）甲乙必须相邻，就是把甲乙捆绑；把他们看成一个人，然后就变成了7个人排队咯~~所以是A（7,7）。因为甲乙他们俩直接自己
又可以交换位置，所以就是A（7,7）*2 = 10080种。
（2）甲乙不相邻，有了上一步的基础者一步就好做啦~~~把全部的可能排列减去甲乙相邻的排列就可以了~~~~如果考试直接碰到也不要慌~~~
就按这个思路也不会错哇~~~A（8,8）-A（7,7）*2= 30240。
（3）甲乙必须相邻且与丙不相邻，先求甲乙必须相邻且与丙相邻A（6,6）*2*2。理由和上面一样哈~~~把三个人绑一起排列，就是A（6,6）
。其中在把甲乙绑一起和乙互相对换位置*2，然后在把帮在一起的甲乙对换位置*2。
甲乙必须相邻且与丙不相邻 = 甲乙必须相邻—甲乙必须相邻且与丙相邻，即A（7,7）*2-A（6,6）*2*2 = 7200。
（4）甲乙必须相邻，丙丁必须相邻。把甲乙绑一起，把丙丁绑一起。然后呢就变成6个人排6个位子了~~~~所以是A（6,6）。可是甲乙可以换
位置，丙丁也可以换位置，于是*2*2。
答案A（6,6）*2*2=2880。
（5）甲乙不相邻，丙丁不相邻。
甲乙不相邻，丙丁不相邻 = 所有的可能排列—{[甲乙必须相邻（第一小题算的）+ 丙丁必须相邻（与第一小题算法一样）]—[甲乙必须相邻
，丙丁必须相邻（第四小题算的）]}
剪掉甲乙必须相邻和丙丁必须相邻这部分比较好理解，但是由于（甲乙必须相邻+丙丁必须相邻）包括了（甲乙必须相邻，丙丁必须相邻）。
所以要剪掉~~~~~~
A（8,8）- [A（7,7）*2*2—A（6,6）*2*2] = 17280。
5．间接计数法.
(1)排除法
例12. 三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形?
分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。
所求问题的方法数= 任意三个点的组合数—共线三点的方法数
即C(9,3)— 8
∴ 共76种。
例13．正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体?
分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，
∴ 共=70-12=58个。
这题俺自己也木有懂共四面方法数怎么算出来的。。求指导~~~俺就直接以为是6个表面乘以2了。。。
例14. l，2，3，……，9中取出两个分别作为对数的底数和真数，可组成多少个不同数值的对数?
哈哈。。。有木有跟我一样完全忘记对数是什么的童鞋。。。
补充知识：如果 a^x=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x=log(a) N .其中，a叫做对数的底数，N叫做真
数。且a>o，a≠1，N>0。
分析：由于底数不能为1。
首先，当1选上时，1必为真数，∴ 有1种情况。
其次，当不选1时，从2至9中任取两个分别作为底数，真数，共A（8,2）=56，其中log（2）4=log（3）9 ，log（4）2=log（9）3 ,log（2）
3=log（4）9 ,log（3）2=log（9）4.
因而一共有53个。
6．挡板的使用
例15．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法?
下面JJ是不是有一点像。。。八过JJ这题难多了！！！具体解释请看JJ~~~
44. 【确定】将140个东西均分给N个人，N≧2，且每个人至少得到两个，问N有多少种可能？
10ßs刷立现
分析：把10个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空。（大家发挥想象，电影院十个并排椅子中间有9个间隔）九个空中选出七
个位置放置档板（在电影院椅子间放块板把两个椅子隔开），则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共C(9，7)=36种。
7．注意排列组合的区别与联系：所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段(排序)可转化为排列问题。
例16. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，（1）可组成多少个不同的四位数? （2）可组成多少个不同的四位偶数？ （3
）可组成多少个能被3整除的四位数?
分析：（1）有A（6,4）-A（5,3）=300个。
A（6,4）为一起可以组成的四位数字总数~~~但寺！！！不要忘记0不能在第一位啊！！！！所以要把0XXX的情况剪掉，即A（5,3）。所以一
起就是A（6,4）-A（5,3）啦~~~~
（2）分为两类：0在末位的情况：有A（5,3）=60种；
0不在末位的情况：有C（2,1）×A（5,3）-C（2,1）×A（4,2）=96种。
C（2,1）×A（5,3）表示的是：如果是偶数呢，末尾必须是2或者4啦，所以两个选一个啦，即C（2,1）。然后剩下三位呢就随便选啦A（5,3
）。然后他们是两个步骤。所以相乘~~~
但寺！！！请不要忘记0在第一位的情况~~~~0XXX，最后一位还是两个选一个，即C（2,1）。然后剩下两位呢就随便选啦，即A（4,2）。这两
个也是步骤~所以相乘~~~~~
∴ 共60+96=156种。
（3）先把四个相加能被3整除的四个数从小到大列举出来，即先选
0，1，2，3
0，1，3，5
0，2，3，4
0，3，4，5
1，2，4，5
它们排列出来的数一定可以被3整除，再排列，有：4×[A（4,4）-A（3,3）]+A（4,4）=96种。
妹纸这里一开始没有弄清楚为什么四个相加能被3整除组成的数就能被3整除。。。然后又继续挖啊挖~~~~解释是：假设这是两位数ab，把它
写成10a+b，它的各位数字之和是a+b，两式相减，得9a，因为9a能被3整除，所以如果a+b能被3整除，那么ab也能被3整除。
假设这是三位数abc，把它写成100a+10b+c，它的各位数字之和是a+b+c，两式相减，得99a+9b，因为99a+9b能被3整除，所以如果a+b+c能被3
整除，那么abc也能被3整除。
四位数，五位数，六位数……推导方法类似。
然后再要求排列就很好求啦~~前四列数字排列方法都是[A（4,4）（全部可能的四位数）—A（3,3）（0开头的四位数）]，所以乘以4。然后
最后一组木有0，所以不存在0开头的情况就能随便排啦~~~就是A（4,4）。
8．分组问题
例17. 5名学生分配到4个不同的科技小组参加活动，每个科技小组至少有一名学生参加，则分配方法共有多少种？
分析：（一）先把5个学生分成二人，一人，一人，一人各一组。
其中涉及到平均分成四组，有C（5,3）=10种分组方法。可以看成4个板三个板不空的隔板法。
（二）再考虑分配到四个不同的科技小组，有A（4,4）=24种。
由（一）（二）可知，共10×24=240种。
【排列与组合中比较难讲清楚的题型】
终于到最后一部分了！！！坚持下来的你们都是勇士！！！
妹纸坚持由浅入深的原则。所以底下的例题会有重复~~大家把懂的稍微扫一扫就行啦~~~请大家耐心一点~~~
题型一：重排问题求幂
例1．把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法？
解析：完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有7种分法，把第二名实习生分配到车间也有7种分法，依此类推,由分步计。所以共有
7^6种不同的排法。
小结：一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为m^n种。
例2．（1）五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？（2）又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能
性有多少种？
分析：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成这一事件故报名方法种
数为4×4×4×4×4= 4^5种
（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种故有n=5×５×５×５= 5^4种。
例1每个实习生只能去1个车间，以人作为分步标准。
例2（1）中每个学生报1项，以人作为分步标准（2）中每个项目只有1个冠军，以项目作为分步标准。
题型二：定序问题除阶乘法、空位法、插入法
最难理解的是除阶乘法。
例3． 有4个男生和3个女生排成一排(1)若甲必须在乙的右边（可以相邻，也可以不相邻），有多少种站法？(2)全体站成一排，甲、乙、丙
三人自左向右顺序不变？
分析：除阶乘法：对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的
全排列数。
（1）7个人全排列是7!，因为剩余5个人如果排好了，甲乙本身有2！种排法，符合题意的只有1种，占了1/2!，所以结果是7！/2！。
（2）7个人全排列是7!，因为剩余4个人如果排好了，甲乙丙三人有3！种排法，符合题意的只有1种，占了1/3!，所以结果是7！/3！。
空位法:其实就是捆绑法啦~~~
（2）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A（4,7）种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有A（4,7）种方法。
插入法：其实就是插空法啦~~~
（2）先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有4*5*6*7方法。
这里注意（1）不能用后面两种方法~~~因为甲和乙不一定是一直挨在一起的！！！题目说甲必须在乙的右边，但是补充了条件“可以相邻或
者不相邻”。。。
题型三：等分与不等分问题
（一） 等分
例4.6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；
（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；
（2）分成三堆，每堆两本；
分析：（1）C（2,6）*C（2，4）*C（2,2）这里很好理解。就不解释啦
（2）分三步取书得C（2,6）*C（2，4）*C（2,2）种方法,但这里出现重复计数的现象。
不妨记6本书为ABCDEF。若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF。该分法记为(AB,CD,EF),则C（2,6）*C（2，4）*C（2,2）中还有
(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有A（3,3）种取法。而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有C（2,6）*C
（2，4）*C（2,2）/A(3,3)种分法。
如果出现2个平均分配，除以A(2，2).
例如：将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？
按照上面的分析，答案应该为C(5,13)*C(4,8)*C(4,4)/A(2,2)。
（二） 不等分
接例4.（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；
答案应为C(1,6)*C(2,5)*C(3,3)或写成C(3,6)*C(2,3)*C(1,1)
（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；
答案应为C(1,6)*C(2,5)*C(3,3)*A(3,3)或写成C(3,6)*C(2,3)*C(1,1)*A(3,3)
（5）分成3份，一份4本，其他两份各1本；
答案应为C(1,6)*C(1,5)*C(4,4)/A(2,2)或写成C(4,6)*C(1,2)*C(1,1)/A(2,2)
注意这里有均分哦~~所以要除以A(2,2)。。
（6）分给甲、乙、丙三人，一人4本，另外两人各1本；
[C(1,6)*C(1,5)*C(4,4)/A(2,2)]*A(3,3)或写成[C(4,6)*C(1,2)*C(1,1)/A(2,2)]*A(3,3)
注意这里要先把均分的除掉再乘以可能的排列~~~~
（7）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本；
答案应为(1)(4)(6)的结果进行相加。
（8）分给5个人，每人至少一本；
从6本中选2本捆绑在一起，再全排列C(2,6)*A(4,4)
（9）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。
法一：隔板法，因为6本书没有差别，把它们排成一排。相邻书之间有5个空隙。在5个空档中选2个位置插个隔板，可把书分成3份，对应地分
给3个人，每一种插板方法对应一种分法共有C(2,5)种分法。
法二：分类讨论，共有三种分法，第一类（2,2,2），只有1种分法；第二类（1,2,3），有A(3,3)=6种分法；第三类（1,1,4）有A(3,1)= 3种分法.